Browsing by Author "Bizim, Osman"

Now showing 1 - 20 of 24

A constructive method for the cycloidal normal free subgroups of finite index of hecke groups H (√2) AND H (√3)
(Acad Sinica, 2006-09-01) DOĞAN, SETENAY; DEMİRCİ, MUSA; Demirci, Musa; Cangül, İsmail Naci; CANGÜL, İSMAİL NACİ; Bizim, Osman; BİZİM, OSMAN; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; 0000-0002-0700-5774; A-6557-2018; AAH-1468-2021; AAH-9762-2021; J-3505-2017; ABA-6206-2020
Cycloidal subgrups of the modular group are studied in [8]. Here cycloidal free normal subgroups of Hecke groups are considered. It is found that when q equivalent to 2 ( mod 4), H ( lambda(q)) has no such subgroups. In all other cases the signatures of these subgroups are constructed by means of q-gons and their signatures are given.
Ayrık gruplar ve hiperbolik geometri
(Uludağ Üniversitesi, 2008) Avcıoğlu, Osman; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Bu çalışmada hiperbolik geometride konikler incelenmiş ve bunun için üst yarı düzlem modeli seçilmiştir. İnceleme iki bölümde gerçekleştirilmiştir.Birinci bölümde ikinci bölüm için hazırlık yapılmıştır.İkinci bölümde hiperbolik konikler incelenmiştir:İlk kısımda hiperbolik çemberin tanımı yapılmış, U da her hiperbolik çemberin bir Öklid çemberi, her Öklid çemberinin de bir hiperbolik çember olduğu ispatlanmıştır. İkinci kısımda hiperbolik elipsin ve yardımcı elemanlarının (odakları, merkezi, odak uzaklığı, asal ekseni, yedek ekseni) tanımı yapılmış, hiperbolik elipsin genel denklemi verilmiştir. Merkezi i olup odakları sanal eksen üzerinde bulunan hiperbolik elips (merkezil elips) incelenmiştir. Merkezil elips için elde edilen bulgular Möb(U) nun dönüşümleri kullanılarak U nun herhangi bir elipsine aktarılmış. Üçüncü kısımda hiperbolik hiperbolün ve yardımcı elemanlarının (odakları, merkezi, odak uzaklığı, asal ekseni) tanımı yapılmış, hiperbolik hiperbolün genel denklemi verilmiştir. Merkezi i olup odakları sanal eksen üzerinde bulunan hiperbolik hiperbol (merkezil hiperbol) incelenmiş, merkezil hiperbolün sonsuzdaki sınırını oluşturan noktalar ile asimptotları elde edilmiştir. Daha sonra merkezil hiperbol için elde edilen bu bulgular Möb(U) nun dönüşümleri kullanılarak U nun herhangi bir hiperbolüne aktarılmış, U nun herhangi bir hiperbolüyle ilgili istenilen tüm bilgilere ulaşılmış ve konuyla ilgili örnekler verilmiştir. Dördüncü kısımda hiperbolik parabolün ve yardımcı elemanlarının (odağı, doğrultmanı, ekseni, tepe noktası) tanımı yapılmış, hiperbolik parabolün genel denklemi verilmiştir. olmak üzere odağı , doğrultmanı i den sanal eksene dik olarak geçen hiperbolik doğru (ve böylece ekseni sanal eksen) olan hiperbolik parabol (merkezil parabol) incelenmiş, merkezil parabolün sonsuzdaki sınırını oluşturan noktalar elde edilmiştir. Sonra merkezil parabol için elde edilen bu bulgular Möb(U) nun dönüşümleri kullanılarak U nun herhangi bir parabolüne aktarılmış, U nun herhangi bir parabolü ile ilgili istenilen tüm bilgilere ulaşılmış ve konuyla ilgili örnekler verilmiştir.
Commutator subgroups of the extended Hecke groups (H)over-bar(lambda(q))
(Springer Heidelberg, 2004) Şahin, Recep; Bizim, Osman; Cangül, İsmail Naci; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; 0000-0002-0700-5774; AAH-1468-2021; J-3505-2017; ABA-6206-2020; 9245697900; 57189022403
Hecke groups H(lambda(q)) are the discrete subgroups of PSL(2, R) generated by S(z) = -(z + lambda(q))(-1) and T(z) = -1/z. The commutator subgroup of H(lambda(q)), denoted by H'(lambda(q)), is studied in [2]. It was shown that H'(lambda(q)) is a free group of rank q - 1. Here the extended Hecke groups (H) over bar(lambda(q)), obtained by adjoining R-1(z) = 1/(z) over bar to the generators of H(lambda(q)), are considered. The commutator subgroup of (H) over bar(lambda(q)) is shown to be a free product of two finite cyclic groups. Also it is interesting to note that while in the H(lambda(q)) case, the index of H'(lambda(q)) is changed by q, in the case of (H) over bar(lambda(q)), this number is either 4 for q odd or 8 for q even.
Corrigendum on "the number of points on elliptic curves E : y2 = x3
(Korean Mathematical Soc, 2007-01-01) İnam, İlker; Soydan, Gökhan; SOYDAN, GÖKHAN; CANGÜL, İSMAİL NACİ; Bizim, Osman; BİZİM, OSMAN; Demirci, Musa; DEMİRCİ, MUSA; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen Edebiyat Fakültesi/Matematik Anabilim Dalı.; 0000-0001-5765-1718; 0000-0002-0700-5774; M-9459-2017; ABA-6206-2020; A-6557-2018; AAH-1468-2021
In this work, authors considered a result concerning elliptic curves y(2) = x(3) + ex over F-p mod 8, given at [1]. They noticed that there should be a slight change at this result. They give counterexamples and the correct version of the result.
Cubes in elliptic divisibility sequences
(Editura Acad Romane, 2012) Gezer, Betül; Bizim, Osman; Uludaǧ Üniversitesi/Fen Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-1547-2021; AAH-1468-2021
Elliptic divisibility sequences are generalizations of a class of integer divisibility sequences called Lucas sequences. There has been much interest in cases where the terms of Lucas sequences and also sequences of Pell numbers are squares or cubes [7, 8]. In [6], we determine in which cases a term of an elliptic divisibility sequence can be a square if one of the first six terms is zero. We also determine the cube terms of these sequences.
Denk sayılar ve eliptik eğriler
(Uludağ Üniversitesi, 2017) Kurnaz, Nagihan; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Bu çalışmada çözümü üzerinde oldukça uzun zamandır uğraşıldığı halde henüz çözülememiş en eski sayılar teorisi problemlerinden birisi olan "denk sayı problemi" ele alınmıştır. Denk sayı problemi üzerine günümüze kadar yapılmış olan çalışmaların bir kısmı bir araya getirilmeye çalışılmış ve denk sayı problemi ile eliptik eğriler arasındaki ilişkiler ele alınmıştır. İlk önceleri tamsayılar halkası üzerinde oluşturulan denk sayı problemi önce rasyonel sayılar cismine, daha sonra da rasyonel sayılar cisminden daha genel sayı cisimleri üzerine taşınmıştır. Daha sonra eliptik eğriler ile denk sayı problemi arasındaki ilişki keşfedilmiş ve denk sayı probleminin henüz ispatlanamamış olan Birch ve Swinnerton-Dyer konjektürünün en önemli uygulaması olduğu görülmüştür. Eğer Birch ve Swinnerton-Dyer konjektürü doğru ise bir tamsayının bir denk sayı olup olmadığının belirlenmesi probleminin bir sonlu kümenin kardinalitesinin belirlenmesi problemine indirgendiği sonucu elde edilmiştir.
Eliptik fonksiyonlar
(Uludağ Üniversitesi, 2013) Kılıç, Sema; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Bu çalışmada C üzerinde çifte periyodik ve meromorfik fonksiyon olan eliptik fonksiyonlar ve bu fonksiyonların özellikleri ele alınmıştır. Çalışmanın birinci bölümünde, temel kavram ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde eliptik fonksiyonlar ve bu fonksiyonların özellikleri ele alınmıştır. Jacobi eliptik fonksiyonları, bu fonksiyonlar için toplam formülleri ve bu fonksiyonların periyodikliği incelenmiştir. Daha sonra Weierstrass eliptik fonksiyonları ele alınmış ve Weierstrass (z) fonksiyonu için diferensiyel denklem verilmiştir. Son olarak, eliptik fonksiyonlar cismi ele alınmış ve esas kısmı verilen eliptik fonksiyonların oluşturulması incelenmiştir.
Elliptic divisibility sequences in certain ranks over finite fields
(Hacettepe Üniversitesi, 2009-08) Gezer, Betül; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Anabilim Dalı.; AAH-1547-2021; AAH-1468-2021; 24485316600; 9245697900
We develop techniques first studied by Morgan Ward to characterize sequences which arise from elliptic curves and which contain a zero term. We first define elliptic divisibility sequences over finite fields by noting that they are not the sequences which arise by reduction from integer sequences. After that, we give general terms of these sequences over the finite fields F(p) (p > 3 is a prime) and then we determine elliptic curves and singular curves associated with them.
A family of integer Somos sequences
(Editura Acad Romane, 2016) Gezer, Betül; Çapa, Buse; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-1547-2021; AAH-1468-2021; 24485316600; 57194222837; 9245697900
Somos sequences are sequences of rational numbers defined by a bilinear recurrence relation. Remarkably, although the recurrences describing the Somos sequences are rational, some Somos sequences turn out to have only integer terms. In this paper, a family of Somos 4 sequences is given and it is proved that all Somos 4 sequences associated to Tate normal forms with h(-1) - +/- 1 consist entirely of integers for n >= 0. It is also shown that there are infinitely many squares and infinitely many cubes in Somos 4 sequences associated to Tate normal forms.
Genişletilmiş modüler grup
(Uludağ Üniversitesi, 1995-10-13) Bizim, Osman; Başkan, Turgut; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Ayrık gruplar, otomorf fonksiyonlar teorisinin en önemli yapı taşlarından birisidir. Bir çok nedenle de, ayrık gruplar içinde en fazla çalışılanı ise modüler gruptur. Bu çalışmanın amacı ise, henüz daha fazla çalışılmamış olan, genişletilmiş modüler grup ve altgruplannm bazı özelliklerini vermektir. Ayrık grupların grup yapılarının yanında bölüm uzayları oluşturularak elde edilen Riemann yüzeyleri de ayn bir araştırma konusu oluşturur. Çalışmamızda genişletilmiş modüler grubun bu yönü ele alınmamıştır. Ancak yapılan bazı çalışmalar sonucunda, bu yöndeki çalışmalarda oldukça ilginç özellikler ile karşılaşılacağı görülmüştür. Çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Giriş kısmında ayrık gruplar teorisinin kısa bir tarihsel gelişimi verilmiştir. Birinci bölüm çalışmanın hazırlık kısmım oluşturmaktadır ve çalışma boyunca gereksinim duyulacak kavramlar ve bazı temel teoremler verilmiştir. Bir çok kitapta farklı tanımlarına rastlanan ayrık grup tanımlarının denk oldukları gösterilmiştir. Ayrıca Fuchsian gruplar için geçerli olan sabit nokta kümeleriyle ilgili bir teoremin N.E.C. gruplar içinde geçerli olduğu gösterilmiştir. ikinci bölümde modüler grup ile altgruplan ele alınmış ve bazı temel özellikleri verilmiştir. Bu bölümde modüler grubun sağ transversali ile ilgili bir teorem ifade ve ispat edilmiştir. Ayrıca To(n) özel denklik altgruplanmn modüler gruptaki normalleştiricismin tanımından yararlanılarak bir teorem ifade ve ispat edilmiştir. Üçüncü bölüm çalışmanın asıl kısmıdır. Bu bölümde önce modüler grubun, sanal eksendeki Rı(z) = -z yansıması ile nasıl genişletildiği, genişletilmiş modüler grubun doğuray-lan, gösterimi, temel bölgesi elde edilmiş ve genişletilmiş altgruplanmn tanımlan verilmiştir. Son olarak da genişletilmiş temel ve özel denklik ahgruplannın grup yapılan hakkında bilgiler verilmiştir.
Kuadratik formlar ve uygulamaları
(Uludağ Üniversitesi, 2009-08-12) Özkoç, Arzu; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Beş bölümden oluşan bu çalışmada kuadratik formlar ve bu formların eliptik eğriler, kübik kongrüanslar, kuadratik idealler, konikler ve modüler formlar ile olan ilişkileri ele alınmıştır.Birinci bölümde tezin daha sonraki bölümlerinde kullanılacak olan bazı kavram ve notasyonlara yer verilmiştir.İkinci bölümünde 73 determinatlı F =(1,7,-6) kuadratik formunun devirleri ve has devirleri belirlenmiş ve bu devirdeki formlara karşılık gelen eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktaların sayısı sonlu cisminde ele alınmıştır. Bu bölümde, ayrıca, F =(1,7,-6) formunun devrindeki formlara karşılık gelen konikler üzerindeki rasyonel noktaların sayısı, ilk olarak F_73 sonlu cisminde ele alınmış ve daha sonra elde edilen sonuçlar sonlu cismine genelleştirilmiştir. Bu bölümde son olarak yine bu formlara karşılık gelen kübik kongrüansların çözümleri F_73 de ele alınmıştır.Üçüncü bölümünde pozitif tanımlı kuadratik formların özel bir ailesi tanımlanarak bu ailedeki formların özellikleri incelenmiş ve daha sonra bu ailedeki formlara karşılık gelen singüler eğriler üzerindeki rasyonel noktaların sayısı belirlenmiştir. Bu bölümde son olarak bu ailedeki formlara karşılık gelen kuadratik kongrüansların çözümleri ele alınmıştır.Dördüncü bölümünde F_1=x_1^2+ 8x_2^2 ve G_1=2x_1^2+ 4x_2^2 kuadratik formları ve bu formların F_4, G_4, F_3 + G_1, F_2 + G_2 ve F_31+ G_3 direkt toplamları ele alınmış, bu direkt toplamlar yardımıyla S_4( (31), 1) uzayı için baz oluşturulmuş ve daha sonra bu bazın elemanları kullanılarak tamsayıların yukarıdaki direkt toplamlar ile gösterilmesi ile ilgili formüller verilmiştir.Son bölümünde delta = D^1/2 ve delta =(1+ D^1/2)/2 değerleri için kuadratik irrasyoneller, kuadratik idealler ve kuadratik formlar arasındaki ilişki ele alınmış bununla ilgili sonuçlar verilmiştir.
Modüler formlar ve uygulamaları
(Uludağ Üniversitesi, 2016-10-04) Bekler, Meryem; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Altı bölümden oluşan bu çalışmada modüler formlar ve uygulamaları ele alınmıştır. Birinci bölümde, modüler formların matematiğin diğer alanlarıyla olan ilişkisi üzerinde durulmuştur. Çalışmanın ikinci, üçüncü ve dördüncü bölümlerinde, diğer bölümlere temel oluşturacak kavramlar verilmiştir. Genel olarak, C Riemann yüzeyinin otomorfizmleri ve genel özellikleri, eliptik fonksiyonlar ve bu fonksiyonların özellikleri ve son olarak modüler grup ve alt grupları ele alınmıştır. Çalışmanın ana kısmını oluşturan beşinci bölümde, zayıf modüler fonksiyonlar ve modüler formlar tanımlanarak örnekler verilmiştir. Son bölümde ise modüler formların uygulamaları ele alınmıştır.
Modüler formlar, eliptik eğriler ve uygulamaları
(Uludağ Üniversitesi, 2011) İnam, İlker; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Bu çalışmada matematiğin son dönemdeki popüler iki teorisi, Eliptik Eğriler ve Modüler Formlar ele alınmıştır. İspatlandıktan sonra Modülarite Teoremi adını alan Taniyama-Shimura-Weil Konjektürü sayesinde birbirine bağlanan bu iki teorinin çeşitli uygulamaları mevcuttur. Bu çalışmada, bu teorilerin birbirleriyle olan ilişkisi kullanılarak Eliptik Eğriler Teorisi'nde yer alan bir açık problem, Modüler Formlar Teorisi kullanılarak çözülmüştür. Birinci bölümde, çalışmanın ilerleyen kısımlarında kullanılacak olan bazı kavramlar tanıtılmıştır. İkinci bölümde Eliptik Eğriler Teorisi'ne giriş yapılmış, sonlu cisimler üzerinde tanımlı bazı eliptik eğri aileleri hakkında elde edilen sonuçlar verilmiştir. Bu bölümün son kısmında üzerinde tanımlı eliptik eğrilerin özellikleri ele alınmış ve bazı uygulamalar yapılmıştır. Üçüncü bölüm modüler formlara ayrılmıştır. Tamsayı ve yarım tamsayı ağırlıklı formlar tanıtılmış, bu formlar üzerindeki Hecke operatörlerinin tanımları verilmiştir. Bu bölüm yukarıda adı geçen Modülarite Teoremi'nin ifadesinin verilmesi ile sona ermiştir. Çalışmanın temelini oluşturan dördüncü ve son bölümünde, rastgele seçilen bir eliptik eğrinin Selmer grubunun mertebesinin hesaplanması problemi ele alınmıştır. Literatürde bu haliyle çözümü bulunmayan problem eliptik eğrilerin twist ailelerine kısıtlanarak modüler formların analitik fonksiyonlar olması özelliği yardımıyla kısmen çözülmüştür. Bunun için matematiğin ödüllü konjektürlerinden Birch ve Swinnerton-Dyer Konjektürü'nün doğru olduğu kabul edilmiş ve J. L. Waldspurger'in önemli bir teoremi kullanılmıştır. Hesaplanan Selmer grubu mertebelerinin dağılımı basit bir fonksiyon yardımıyla ifade edilmiştir.
Moduler grup
(Uludağ Üniversitesi, 1991) Bizim, Osman; Başkan, Turgut; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Bu tezde, modüler grubun temel özelliklerinden başlanarak son yıllarda elde edilen sonuç ve özelliklere ulaşılmistir. Tüm bu özellik ve sonuçların birbirleri ile bağlantıları kurulduğu gibi literatürde bulunmayan yada zor bulunabilen bazı ispatlar anlaşılabilir biçimde verilmiştir. Modüler grup ve alt gruplarının geniş bir şekilde ele alındığı bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde otomorf fonksiyonlar teorisinin önemli temel kavramları verilmiştir. Süreksizlik ve ayrıklık kavramları Üzerinde durularak, modüler grubun süreksiz ve ayrık grup olduğu gösterilmiştir. Modüler grubun temel bölgesi ve temel bölgenin kenarları arasındaki ilişki yardımıyla modüler grup için bir gösterim verilmiştir. Son olarak modüler grubun homomorf olduğu grupların neler olduğu araştırılmış ve üçgen grup ile Hurwitz grubu hakkında genel bilgiler verilmiştir. İkinci bölüm modüler grubun alt gruplarına ayrılmıştır. Temel denklik ve denklik alt gruplar inin yapısı incelenmiş ve temel bölgeleri verilmiştir. Son bölümde modüler grubun r (n) denklik alt gruplarının yapısı ve bu altgrupların PSL ve modüler gruptaki normalleştiricileri ele alınmıştır. V nın öğelerinin m. kuvvetleri ile doğurulmuş olan r altgrupları ve temel özelliklerine de bu bölümde değinilmiştir.
On the product of translated division polynomials and somos sequences
(Wydawnictwo Naukowe Uam, 2023-09-01) Gezer, Betül; Bizim, Osman; GEZER, BETÜL; BİZİM, OSMAN; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-1547-2021; AAH-1468-2021
We consider the product sequences of the sequences (psi n(P)), (phi n(P)), and (omega n(P)) (n is an element of N) of values of the translated division polynomials of an elliptic curve E/K evaluated at a point P is an element of E(K)2. We prove that these sequences are purely periodic when K is a finite field. Then we use p-adic properties of these sequences to obtain p-adic convergence of product of the Somos 4 and Somos 5 sequences.
Operations on elliptic divisibility sequences
(Korean Mathematical Soc, 2018) Bizim, Osman; Gezer, Betül; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-1468-2021; AAH-1547-2021; 9245697900; 24485316600
In this paper we consider the element-wise (Hadamard) product (or sum) of elliptic divisibility sequences and study the periodic structure of these sequences. We obtain that the element-wise product (or sum) of elliptic divisibility sequences are periodic modulo a prime p like linear recurrence sequences. Then we study periodicity properties of product sequences. We generalize our results to the case of modulo p(l) for some prime p > 3 and positive integer l. Finally we consider the p-adic behavior of product sequences and give a generalization of [9, Theorem 4].
Psl(2, r) grubu ve ayrık alt grupları
(Bursa Uludağ Üniversitesi, 2019-09-27) Çakırtaş, Şerife; Bizim, Osman; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.; 0000-0002-3515-6975
Bu çalışmada PSL(2, R) ve bu grubun ayrık alt gruplarının özellikleri ele alınmıştır. Bu grup ve hiperbolik geometri arasındaki ilişki üzerinde durulmuştur. PSL(2, R) grubunun ayrık alt grupları olan Fuchs grupları ve modüler grubun cebirsel yapıları ele alınmıştır. Çalışmanın ikinci bölümünde, daha sonra ihtiyaç duyulacak olan bazı tanım ve teoremler verilmiştir. Dördüncü bölümde PSL(2, R) grubunun özellikleri ele alınmış ve bu grubun üst yarı düzlem üzerindeki hareketi incelenmiştir. Bu bölümde hiperbolik geometrinin üst yarı düzlem modeli oluşturulmuş ve PSL(2, R) deki dönüşümlerin hiperbolik uzaklığı ve hiperbolik alanı değişmez bıraktığı görülmüştür. Beşinci bölümde PSL(2, R) grubunun ayrık alt grupları olan Fuchs grupları incelenmiştir. Bu gruplar için temel bölge ve döşeme kavramları ele alınmıştır. Fuchs gruplarının bölüm uzayları oluşturulmuş ve bu bölüm uzayları ile kompakt Riemann yüzeyleri arasındaki ilişki incelenmiştir. Son bölümde modüler grup ele alınmıştır. Modüler grubun üreteçleri, temel bölgesi ve temsili verilmiştir.
Rekurrent diziler ve uygulamaları
(Uludağ Üniversitesi, 2015) Uzatıcı, Buse; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Bu çalışmada özel bir eğri ailesi olan Tate normal formdaki eliptik eğriler ile eşleşen rekurrent Somos 4 dizileri ele alınmış ve bu dizilerin olmak üzere için tüm hn terimlerinin birer tamsayı oldukları gösterilmiştir. Bir uygulama olarak, bu dizilerdeki kare ve küp terimlerin sonsuz çoklukta bulunduğu belirlenmiştir. Çalışmanın birinci bölümünde, ikinci ve üçüncü bölümlere temel oluşturacak kavramlar verilmiştir. Genel olarak lineer ve bilineer rekurrent diziler incelenerek bu dizilerin temel özellikleri üzerinde durulmuştur. Bu bölümün son kısmında eliptik eğriler ele alınmış ve temel özellikleri belirtilmiştir. Çalışmanın ikinci bölümünde, rekurrent eliptik bölünebilir diziler ile ilgili temel kavramlar ve teoremler ifade edilmiştir. Üçüncü bölüm ise çalışmanın ana kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde, öncelikle, genel olarak rekurrent Somos dizileri tanımlanmış ve bu dizilerin genel özellikleri üzerinde durulmuştur. Daha sonra Tate normal formdaki eliptik eğriler ile eşleşen Somos 4 dizilerinin tüm terimlerinin birer tamsayı oldukları gösterilmiştir. Uygulama olarak, bu dizilerdeki kare ve küp terimlerin neler oldukları belirlenmiştir.
Representations of positive integers by positive quadratic forms
(Southeast Asian Mathematical Soc-seams, 2011-01-01) TEKCAN, AHMET; Gezer, Betül; GEZER, BETÜL; Bizim, Osman; BİZİM, OSMAN; Özkoç, Arzu; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-1468-2021; AAH-8518-2021; AAH-1547-2021
In this work we consider the representations of positive integers by quadratic forms F-1 = x(1)(2) + x(1)x(2) + 8x(2)(2) and G(1) = 2x(1)(2) + x(1)x(2) + 4x(2)(2) of discriminant 31 and we obtain some results concerning the modular forms (sci) (T; F, phi(tau s)). Moreover we construct a basis for the cusp form space S-4 (Gamma(0) (31), 1), and then we give some formulas for the number of representations of positive integer n by positive definite quadratic forms.
Singüler eğriler ve eliptik bölünebilir diziler
(Uludağ Üniversitesi, 2009-05-22) Gezer, Betül; Bizim, Osman; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.
Bu çalışmanın amacı “singüler eğriler” ve “eliptik bölünebilir diziler” gibi matematiğin iki önemli kavramını sonlu cisimler üzerinde çalışmak ve bu kavramlar arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktır. Çalışmanın birinci ana kısmında eliptik eğriler teorisi ele alınmış ve teorinin önemli özellikleri verilmiştir. Karakteristiği 2 ve 3 ten farklı olan bir F cismi üzerinde tanımlı E : y 2 = x 3 + Ax + B eşitliğini gerçekleyen sıralı ikililerin kümesi eliptik eğri olarak adlandırılır. Eğer x 3 + Ax + B = 0 kübik denkleminin katlı kökleri bulunması halinde bu noktaların kümesine singüler eğri adı verilir. Çalışmanın amaçlarından birisi de bu tip eğrilerin özelliklerini sonlu cisimler üzerinde ortaya koymaktır. Çalışmanın üçüncü bölümünde, p > 3 bir asal sayı olmak üzere, Fp sonlu cismi üzerinde singüler eğriler ele alınmış bu eğrilerin üzerindeki nokta sayıları, ikinci ve üçüncü dereceden kalanlar yardımıyla belirlenmiştir. Daha sonra bu eğrilerin üzerindeki (x, y) noktalarının karakterleri, bu noktaların apsis ve ordinatları toplamı ile ilgili sonuçlar verilmiştir. Bu eğriler üzerindeki noktaların grup yapısı ve büküm noktaları belirlendikten sonra bu eğrilerin üzerindeki nokta sayıları ile ilgili işlemler Fp sonlu cisminden Fp n ye genelleştirilmiştir. Çalışmanın ikinci ana kısmında bir eliptik eğrinin bölüm polinomu kavramından ortaya çıkan eliptik bölünebilir diziler ele alınmıştır. Eliptik bölünebilir diziler ilk olarak 1948’de Morgan Ward’ ın “Memoir on elliptic divisibility sequences” adlı makalesinde ele alınmıştır. Çalışmanın beşinci bölümünde, Morgan Ward’ın yapmış olduğu çalışmalar geliştirilmiştir. İlk olarak sonlu cisimler üzerinde eliptik bölünebilir dizi kavramı tanımlandıktan sonra, belli ranklara sahip olan eliptik bölünebilir dizilerin genel terimleri ve periyotları belirlenmiştir. Daha sonra bu dizilerle eşleşen eliptik eğriler ve singüler eğriler belirlenmiştir, singüler eğrilerin ne zaman ortaya çıktığı ile ilgili sonuçlar verilmiştir.