Browsing by Author "Tekcan, Ahmet"
Now showing 1 - 20 of 39
- Results Per Page
- Sort Options
Publication Almost balancing, triangular and square triangular numbers(Bulgarian Acad Science, 2019-01-01) Tekcan, Ahmet; TEKCAN, AHMET; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-8518-2021In this work, we derive some new algebraic relations on all almost balancing numbers (of first and second type) and triangular (and also square triangular) numbers.Item Ayrık gruplar ve kuadratik formlar(Uludağ Üniversitesi, 2004-05-21) Tekcan, Ahmet; Bayraktar, Mustafa; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.Dört bölümden oluşan bu çalışmada ayrık gruplar, kuadratik formlar, ayrık gruplar ile kuadratik formlar arasındaki ilişkiler ve idealler ile kuadratik formlar arasındaki bağıntılar ele alınmıştır. Birinci bölümde ilerideki bölümlere hazırlık olması açısından ayrık gruplar, kuadratik formlar ve idealler ile ilgili bazı temel kavramlara yer verilmiştir. İkinci bölümde modüler grubun ve genişletilmiş modüler grubun özel ve temel denklik alt gruplarının simgeleri ele alınmıştır. Bu bölümde Harding (1985) in modüler grubun Uq(p) özel ve U(p) temel denklik alt grupları için elde ettiği simgeler verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, Hoare&Uzzeîi Teoremi kullanılarak genişletilmiş modüler grubun Uq(p) özel denklik alt grubunun simgesi başka bir yolla elde edilmiştir. Üçüncü bölümde kuadratik formlar geniş bir şekilde ele alınmıştır. Bu bölümde ilk olarak m i. 2 tamsayısı için taban noktalan x =doğrusu üzerinde olan m kuadratik formlar ele alınmış ve bu formların bazı temel özellikleri verilmiştir. Benzer işlemler taban noktalan orijin merkezli ve - yançaplı çemberler üzerinde olan m kuadratik formlar için yapılmıştır. Pozitif determinantlı formlar üzerinde durulmuştur. Herhangi bir pozitif determinantlı form verildiğinde bu formun indirgenebilir obua şarü verilmiş, üstelik verilen formun indirgenebilir olmaması durumunda bu formun indirgenebilir hale nasıl getirilebileceği gösterilmiştir. Verilen bir A determinantı için deteraıinantî A olan tüm indirgenmiş formların nasıl elde edilebileceği verilmiştir. Son olarak indirgenebilir F - (a,b,c) formunun devirinin nasıl elde edildiği gösterilmiştir. Tamsayıların kuadratik formlar ile gösterilmesi problemi üzerinde durulmuştur. Bu kısımda, ikinci bölümde elde ettiğimizi genişletilmiş modüler grubunun n0(p) Özellî denklik ait grubunun simgelerine bağlı olarak kuadratik formlar tanımlanmış ve bu formlar ile tüm tamsayıların gösterilebileceğini ispatlanmıştır. Bununla beraber değişik kuadratik formlar tanımlanarak bu formların bazı özellikleri elde edilmiş ve yine bu formlar ile tüm tamsayıların gösterilebileceği ispatlanmıştır. x2 - Dy2 = ±1 Pell denkleminin çözümleri ele alınmış ve bu çözümlere ait bir formül verilerek denklemin çözümleri arasında bazı bağıntılar elde edilmiştir. -47 determinantlı Fx = (1, 1, 12) ve Gx = (3, î, 4) kuadratik formları ele alınarak bu formlar ve bu formların direkt toplamları ile ilgili sonuçlar verilmiştir. Bu direkt toplamlardan faydalanarak S4(r0(47),l) uzayı için bir baz teşkil edilmiş ve bu bazın elemanları kullanılarak tam sayıların yukarıdaki formlar ve bu formların direkt toplanılan ile gösterilmesi ile ilgili bağıntılar elde edilmiştir. Bu bölümde son olarak idealler ve kuadratik formlar ile ilgilenilmiştir. Bu bölümde ilk olarak I = [Q,P + Jd] idealinin bazı özellikleri elde edilmiş ve devirinin nasıl olacağı belirtilmiştir. Daha sonra bu ideale bağlı olarak kuadratik formlar tanımlanmış ve bu formların bazı özellikleri elde edilmiştir. Son olarak idealin devirini kullanarak formun devirinin nasıl elde edilebileceği gösterilmiştir. Dördüncü bölümde Hermitian formlar, Picard grubu ve bu ikisi arasındaki ilişkiler ele alınmıştır. Bu bölümde ilk olarak Picard grubu ile Hermitian formlar arasındaki ilişki ele alınmıştır. Daha sonra ise tam sayıların Hermitian formlar ile gösterilmesi problemi üzerinde durulmuştur. Her bir tamsayının sonsuz çoklukta birim Hermitian form ile gösterilebileceği, üstelik bu gösterimin Hermitian forma karşılık gelen çemberin merkezine bağlı olduğu, yarıçapları aynı olan çemberlerin birbirlerine denk oldukları ve dolayısıyla herhangi bir tamsayıyı gösteren (denklik anlamında) bir tek birim Hermitian formun olduğu gösterilmiştir. Ayrıca değişik Hermitian formlar tanımlanarak yine bu formlar ile tüm tamsayıların gösterilebileceği verilmiştir.Publication Balancing, pell and square triangular functions(Univ Miskolc Inst Math, 2015-01-01) Tekcan, Ahmet; Tayat, Merve; Olajos, Peter; TEKCAN, AHMET; Tayat, Merve; AAH-8518-2021In this work, we derive some functions on balancing, cobalancing, Lucas-balancing, Lucas-cobalancing, Pell, Pell-Lucas and square triangular numbers. At the end of this article we investigated common values of combinatorial numbers and Lucas-balancing numbers.Item Balans sayıları ve cebirsel özellikleri(Uludağ Üniversitesi, 2014-05-28) Eraşık, Meltem Esra; Tekcan, Ahmet; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.Bu çalışmada tamsayı dizilerinde yeni bir kavram olan balans sayıları ele alınmış ve bu sayıların bazı cebirsel özellikleri verilmiştir. Ayrıca bu sayıların Pell, Pell-Lucas ve oblong sayıları ile olan ilişkisi üzerinde durulmuştur. Birinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlara ve teoremlere yer verilmiştir. İkinci bölümde, oblong sayıları ele alınmış ve bu sayıların Pell formu ve Pell denklem-lerinin tamsayı çözümleri ile olan ilişkisi üzerinde durulmuştur. Üçüncü bölümde ise, balans sayıları geniş bir şekilde ele alınmış ve bu sayıların bazı cebirsel özellikleri ile bu sayıların Pell, Pell-Lucas ve balans sayılar ile olan ilişkisi üzerinde durulmuştur.Item 𝒕-balansırlar ve 𝒕-balans sayıları(Bursa Uludağ Üniversitesi, 2022-07-04) Aydın, Samet; Tekcan, Ahmet; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.; 0000-0002-6502-0251Bu tezde 𝑡 ≥ 1 tam sayısı için balans sayılarının genelleştirilmişi olan 𝑡-balans sayıları ele alınmış ve 𝑡-balans sayılarının, 𝑡-balansırların ve Lucas 𝑡-balans sayılarının genel terimleri, balans ve Lucas-balans sayılarına bağlı olarak elde edilmiştir. Birinci bölümde Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, balans, kobalans ve genelleştirilmiş balans sayıları hakkında genel bir bilgi verilmiştir. İkinci bölümde materyal ve yöntem belirtilmiştir. Üçüncü bölüm tezin orijinal kısmı olup bu bölümde, 𝑡 ≥ 1 tam sayısı için 𝑡-balans sayıları ele alınmıştır. 𝑡-balans, 𝑡-balansır ve Lucas 𝑡-balans sayılarının genel terimlerinin belirlenebilmesi için ilk olarak 2𝑥 − 𝑦 = 2𝑡 + 4𝑡 + 1 Pell denkleminin tüm pozitif (𝑥, 𝑦 ) tam sayı çözümleri kümesi belirlenmiş ve bu küme yardımıyla 𝑡-balans, 𝑡-balansır ve Lucas 𝑡-balans sayılarının genel terimleri, balans ve Lucas-balans sayılarına bağlı olarak elde edilmiştir. Tüm bu işlemler 𝑡 ≥ 2 tam sayısı için 2𝑡 + 4𝑡 + 1 in tam kare olup olmamasına göre iki durumda ele alınmıştır. Dördüncü bölümde ise sonuç verilmiştir.Item Balkobalans sayıları ve balkobalansırlar(Bursa Uludağ Üniversitesi, 2023) Yıldız, Meryem; Tekcan, Ahmet; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.; 0000-0002-7594-7552Bu tezde balans ve kobalans sayılarından elde edilen yeni bir tam sayı dizisi olan balko-balans sayıları tanımlanmış ve bu sayıların genel terimleri balans sayılarına bağlı olarak elde edilmiştir. Birinci bölümde tam sayı dizileri ile ilgili genel bir bilgi verilmiştir. İkinci bölümde materyal ve yöntem belirtilmiştir. Üçüncü bölüm tezin orijinal kısmı olup bu bölümde, balkobalans sayıları, Lucas-balko-balans sayıları ve balkobalansırlar olmak üzere üç yeni tam sayı dizisi tanımlanmış ve bu tam sayı dizisinin genel terimleri balans sayılarına bağlı olarak elde edilmiştir. Ayrıca bu tam sayı dizileri ile ilgili yeni cebirsel bağıntılar elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise sonuç verilmiştir.Item The base points of indefinite quadratic forms in the cycle and proper cycle of an indefinite quadratic form(Hacettepe Üniversitesi, 2007-12-06) Tekcan, Ahmet; Uludağ Üniversitesi/Fen Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-8518-2021Let F = (a, b, c) be an indefinite quadratic form of discriminant Delta > 0. In the first section, we give some preliminaries from binary quadratic forms. In the second section, we derive some results concerning the base points of indefinite quadratic forms in the cycle and proper cycle of F using the transformations tau(F) = (-a, b, -c), xi(F) = (c, b, a), chi(F) = (-c, b, -a), psi(F) = (-a, -b, -c), and the right neighbor R-i(F) of F for i >= 0.Item Bazı tamsayı dizileri ve Pell denklemleri(Uludağ Üniversitesi, 2013-04-16) Özkoç, Arzu; Tekcan, Ahmet; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.Bu çalışmada tamsayı dizileri ve Pell denklemleri ele alınmış ve bunlarla ilgili bazı ce-birsel bağıntılar ve özdeşlikler elde edilmiştir.Birinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanım ve teo-remlere yer verilmiştir.İkinci bölümde, iki ve dört parametreli tamsayı dizileri ele alınmış bu diziler ile ilgili bazı cebirsel bağıntılar elde edilmiştir. Ayrıca iki parametreli tamsayı dizisinin paramet-relerine bağlı olarak tanımlanan Pell denkleminin tamsayı çözümleri elde edilmiştir.Üçüncü bölümde, oblong sayıları ele alınmış ve bu sayıların bazı cebirsel özellikleri verildikten sonra bu sayılara bağlı olarak tanımlanan Pell formu ve Pell denklemi ele alınmıştır. Pell denkleminin tamsayı çözümlerinin oblong sayılarına bağlı olarak verilebileceği gösterilmiş ve Pell formunun indirgenmişinin devri ve has devri ele alınarak bu formun has otomorfizmlerinin yine oblong saylarına bağlı olarak tanımlanan matris yardımıyla elde edilebileceği gösterilmiştir.Dördüncü bölümde ise, balans sayıları ele alınmış ve bu sayıların hem kendi aralarında hem de Pell ve Pell-Lucas sayıları ile olan ilişkisi incelenmiştir. Ayrıca balans sayılarına bağlı olarak tam kareler ve pisagor üçlüleri elde edilmiştir.Son bölümde ise t>2 tamsayısı için x^2-(t^2-t)y^2-(4t-2)x+(4t^2-4t)y=0 Diophantine denklemi ele alınmış, bu denklemin tamsayılar kümesinde ve p>5 asal sayısı için F_p sonlu cisminde tamsayı çözümleri ele alınmıştır.Item The Diophantine equation x2 - (t2 + t)y2 - (4t + 2)x + (4t2 + 4t)y = 0(Springer-Verlag, 2010-01) Tekcan, Ahmet; Özkoç, Arzu; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-8518-2021; 55883777900; 24485340700Let t >= 1 be an integer. In this work, we consider the number of integer solutions of Diophantine equation x(2) - (t(2) + t)y(2) - (4t + 2)x + (4t(2) + 4t)y = 0 over Z and also over finite fields F-p for primes p >= 5.Item The elliptic curves y2 = x(x - 1)(x - λ)(Charles Babbage Res CTR, 2011-04) Tekcan, Ahmet; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Anabilim Dalı.; AAH-8518-2021; 55883777900Let p be a prime number and let F-p be a finite field. In the first section, we give some preliminaries from elliptic curves over finite fields. In the second section we consider the rational points on the elliptic curves E-p,E-lambda : y(2) = x(x - 1)(x - lambda) over F-p for primes p equivalent to 3 (mod 4), where lambda not equal 0, 1. We proved that the order of E-p,E-lambda over F-p is p + 1 if lambda = 2, p+1/2 or p - 1. Later we generalize this result to F-p(n) for any integer n >= 2. Also we obtain some results concerning the sum of x-and y-coordinates of all rational points (x, y) on E-p,E-lambda over F-p. In the third section, we consider the rank of E-lambda : y(2) = x(x - 1)(x - lambda) over Q.Item Genelleştirilmiş balans sayıları(Uludağ Üniversitesi, 2017-06-01) Yazla, Aziz; Tekcan, Ahmet; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.Bu çalışmada tamsayı dizilerinde yeni bir kavram olan t −balans sayıları ele alınmış ve bu sayıların bazı cebirsel özellikleri verilmiştir. Ayrıca bu sayıların Pell, Pell-Lucas, diğer balans sayıları ve kare üçgensel sayılar ile olan ilişkisinden bahsedilmiştir. Tezin birinci bölümünde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel kavramlara, notasyonlara ve teoremlere yer verilmiştir. İkinci bölümde, balans sayıları, bu sayıların bazı cebirsel özellikleri, Pell ve Pell-Lucas tamsayı dizileri ile olan ilişkisi, balans sayılarının katsayılar matrisi ve bu matris ile ilgili bazı cebirsel bağıntılar ve balans fonksiyonlarından bahsedilmiştir. Tezin üçüncü bölümü orijinal çalışma olup bu bölümde ilk olarak 2x2 − y2 = 2t 2 −1 Pell denkleminin tüm pozitif tamsayı çözümleri elde edilmiş ve daha sonra t −balans sayılarının genel terimleri ve bu sayıların Binet fromülleri verilmiştir. Daha sonra t − balans sayılarının balans, Pell, Pell-Lucas ve kare üçgensel sayılar ile olan ilişkisi üzerinde durulmuştur.Publication k-almost cobalancing numbers(Centre Environment Social & Economic Research Publ-ceser, 2020-01-01) Tekcan, Ahmet; TEKCAN, AHMET; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü; AAH-8518-2021The general terms of k-almost cobalancing numbers and k-almost Lucas-cobalancing numbers are determined for an integer k >= 1.Item İndefinite kuadratik formlar ve genelleştirilmiş pell dizileri(Uludağ Üniversitesi, 2016-10-11) Tayat, Merve; Tekcan, Ahmet; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.Bu çalışmada indefinite kuadratik formlar ve genelleştirilmiş Pell dizileri ele alınmış ve bunlarla ilgili bazı cebirsel sonuçlar verilmiştir. Birinci bölümde, tezin sonraki bölümlerinde kullanılacak olan bazı temel kavramlara ve teoremlere yer verilmiştir. İkinci bölümde, indefinite kuadratik formlar, Pell denklemlerinin tamsayı çözümleri ve t- balans sayıları ele alınmıştır. Üçüncü bölümde iki tip tamsayı dizisi tanımlanmış ve bu dizi ile ilgili bazı cebirsel bağıntılar elde edilmiştir. Ayrıca bu iki dizinin balans, Pell ve Pell-Lucas dizileri ile olan ilişkisi üzerinde durulmuştur. Son bölümde ise balans, Pell ve Pell-Lucas fonksiyonları ele alınmıştır.Item Indefinite quadratic forms and pell equations involving quadratic ideals(Editura Acad Romane, 2017) Tekcan, Ahmet; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyet Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-8518-2021; 55883777900Let p equivalent to 1(mod 4) be a prime number, let gamma = P+root p/Q be a quadratic irrational, let I-gamma = [Q, P + root p] be a quadratic ideal and let F-gamma = (Q, 2P, -Q) be an indefinite quadratic form of discriminant Delta = 4p, where P and Q are positive integers depending on p. In this work, we first determined the cycle of I, and then proved that the right and left neighbors of F-gamma can be obtained from the cycle of I-gamma. Later we determined the continued fraction expansion of gamma, and then we showed that the continued fraction expansion of root P, the set of proper automorphisms of F-gamma, the fundamental solution of the Pell equation x(2) - py(2) = +/- 1 and the set of all positive integer solutions of the equation x(2) - py(2) = +/- p can be obtained from the continued fraction expansion of gamma.Item Indefinite quadratic forms and their neighbours(Amer Inst Physics, 2010) Psihoyios, G; Tsitouras, C.; Tekcan, Ahmet; Özkoç, Arzu; Cangül, İsmail Naci; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; 0000-0002-0700-5774; J-3505-2017; AAH-8518-2021; 55883777900; 24485340700; 57189022403The aim of this work is to derive the connection among cycle, proper cycle, right and left neighbour of indefinite reduced binary quadratic form F(x,y) = ax(2) + bxy + cy(2) of discriminant Delta = b(2) - 4ac.Item Integer solutions of a special Diophantine equation(Amer Inst Pyhsics, 2011) Simos, T. E.; Özkoç, Arzu; Tekcan, Ahmet; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Anabilim Dalı.; AAH-8518-2021; 24485340700; 55883777900Let t not equal 1 be an integer. In this work, we determine the integer solutions of Diophantine equation D : x(2) + (2-t(2))y(2)+(-2t(2) - 2t + 2)x+(2t(5) - 6t(3) + 4t)y - t(8) + 4t(6) - 4t(4) + 2t(3) + t(2) - 2t - 0 over Z and also over finite fields F-p for primes p >= 2. Also we derive some recurrence relations on the integer solutions (x(n), y(n)) of D and formulate the the n-th solution (x(n), y(n)) by using the simple continued fraction expansion of x(n)/y(n).Publication K- Almost balancing numbers(Centre Environment Social & Economic Research Publication-ceser, 2021-01-01) Tekcan, Ahmet; TEKCAN, AHMET; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen Edebiyat Fakültesi/Matematik Bölümü.; AAH-8518-2021In this work, we determine the general terms of k-almost balancing numbers and k-almost Lucas-balancing numbers of first and second type in terms of balancing and Lucas-balancing numbers for some integer k >= 1.Item 𝒕-kobalans ve lucas 𝒕-kobalans sayıları(Bursa Uludağ Üniversitesi, 2021-06-29) Erdem, Alper; Tekcan, Ahmet; Bursa Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.; 0000-0001-8429-0612Bu çalışmada kobalans sayılarının genelleştirilmişi olan 𝑡-kobalans sayıları ele alınmış ve bu sayılar ile Lucas 𝑡-kobalans sayılarının genel terimleri elde edilmiştir. Birinci bölümde balans sayıları ve kobalans sayıları hakkında bazı önemli kavramlara ve gösterimlere yer verilmiş ve literatürde bu sayılar ile ilgili yapılan çalışmalardan bahsedilmiştir. İkinci bölümde Fibonacci, Lucas, Pell ve Pell-Lucas tam sayı dizileri hakkında genel bir bilgi verilmiştir. Üçüncü bölümde materyal ve yöntem belirtilmiştir. Dördüncü bölüm tezin orijinal kısmı olup bu bölümde kobalans sayılarının genelleştirilmişi olan 𝑡-kobalans sayıları ele alınmıştır. Lucas 𝑡-kobalans ve 𝑡-kobalansır sayılarının genel terimlerinin elde edilebilmesi için ilk olarak 2𝑥2−𝑦2=2𝑡2−1 Pell denkleminin tüm pozitif tam sayı çözümleri kümesi belirlenmiş ve bu küme yardımıyla 𝑡-kobalans, Lucas 𝑡-kobalans ve 𝑡-kobalansır sayılarının genel terimleri elde edilmiştir. Tüm bu işlemler 𝑡=1 ve 𝑡≥2 için 2𝑡2−1 in tam kare olup olmamasına göre üç farklı durumda ele alınmıştır. Beşinci bölümde ise sonuç verilmiştir.Item Kuadratik formlar ve diophantine denklemleri(Uludağ Üniversitesi, 2011-08-15) Alkan, Hatice; Tekcan, Ahmet; Uludağ Üniversitesi/Fen Bilimleri Enstitüsü/Matematik Anabilim Dalı.Bu tezde kuadratik formlar ve Diophantine denklemleri ele alınmış ve bunlar ile ilgili bazı cebirsel özellikler elde edilmiştir.Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışma ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.İkinci bölümde, sonlu cisimler üzerinde tanımlı özel eğriler ele alınmış ve bunlar üzerindeki rasyonel noktaların sayısı sonlu cisimlerinde ele alınmıştır.Üçüncü bölümde, Diophantine denkleminin tamsayı çözümleri tamsayılarda ve sonlu cisminde ele alınmıştır. Daha sonra bu Diophantine denkleminin köklerine bağlı olarak tanımlanan eğri üzerindeki rasyonel noktaların sayısı sonlu cisminde belirlenmiştir.Dördüncü bölümde, kuadratik idealler ve indefinite kuadratik formlar ele alınmıştır. Bu bölümde iki özel kuadratik ideal ele alınmış ve bu ideallerin özellikleri verildikten sonra bu ideallerin çarpımları oluşturulmuştur. Daha sonra bu kuadratik ideallere karşılık gelen indefinite kuadratik formlar ele alınmıştır.Beşinci bölümde, özel bir tamsayı dizisi verilmiş ve bu dizinin parametrelerine bağlı olarak tanımlanan Pell denkleminin tamsayı çözümleri ve bu çözümlerle ilgili indirgeme bağıntıları elde edilmiştir.Item n-Universal quadratic forms, quadratic ideals and elliptic curves over finite fields(Editura Acad Romane, 2011) Tekcan, Ahmet; Özkoç, Arzu; Uludağ Üniversitesi/Fen-Edebiyat Fakültesi/Matematik Anabilim Dalı.; AAH-8518-2021In this work, we derive some properties of n-universal quadratic forms, quadratic ideals and elliptic curves over finite fields F(p) for primes p >= 5. In the first section, we give sonic preliminaries form binary quadratic forms and quadratic idelas. In the second section, we consider the quadratic ideals and quadratic forms. In the third section, we consider the quadratic forms over finite fields, also consider the representations of positive integers by quadratic forms and n-universal forms. In the last section, we consider the number of rational points on elliptic curves associated with the universal forms.