Kuadratik formlar ve uygulamaları

Abstract

Beş bölümden oluşan bu çalışmada kuadratik formlar ve bu formların eliptik eğriler, kübik kongrüanslar, kuadratik idealler, konikler ve modüler formlar ile olan ilişkileri ele alınmıştır.Birinci bölümde tezin daha sonraki bölümlerinde kullanılacak olan bazı kavram ve notasyonlara yer verilmiştir.İkinci bölümünde 73 determinatlı F =(1,7,-6) kuadratik formunun devirleri ve has devirleri belirlenmiş ve bu devirdeki formlara karşılık gelen eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktaların sayısı sonlu cisminde ele alınmıştır. Bu bölümde, ayrıca, F =(1,7,-6) formunun devrindeki formlara karşılık gelen konikler üzerindeki rasyonel noktaların sayısı, ilk olarak F_73 sonlu cisminde ele alınmış ve daha sonra elde edilen sonuçlar sonlu cismine genelleştirilmiştir. Bu bölümde son olarak yine bu formlara karşılık gelen kübik kongrüansların çözümleri F_73 de ele alınmıştır.Üçüncü bölümünde pozitif tanımlı kuadratik formların özel bir ailesi tanımlanarak bu ailedeki formların özellikleri incelenmiş ve daha sonra bu ailedeki formlara karşılık gelen singüler eğriler üzerindeki rasyonel noktaların sayısı belirlenmiştir. Bu bölümde son olarak bu ailedeki formlara karşılık gelen kuadratik kongrüansların çözümleri ele alınmıştır.Dördüncü bölümünde F_1=x_1^2+ 8x_2^2 ve G_1=2x_1^2+ 4x_2^2 kuadratik formları ve bu formların F_4, G_4, F_3 + G_1, F_2 + G_2 ve F_31+ G_3 direkt toplamları ele alınmış, bu direkt toplamlar yardımıyla S_4( (31), 1) uzayı için baz oluşturulmuş ve daha sonra bu bazın elemanları kullanılarak tamsayıların yukarıdaki direkt toplamlar ile gösterilmesi ile ilgili formüller verilmiştir.Son bölümünde delta = D^1/2 ve delta =(1+ D^1/2)/2 değerleri için kuadratik irrasyoneller, kuadratik idealler ve kuadratik formlar arasındaki ilişki ele alınmış bununla ilgili sonuçlar verilmiştir.In this thesis, we consider quadratic forms, and the relationship between elliptic curves, cubic congruances, quadratic ideals, conics and moduler forms.In the first section, we give some definitions, notations and properties which we need in later sections.In the second section, we consider elliptic curves, conics and cubic congruencies over finite fields associated with indefinite binary quadratic forms in the proper cycle of F =(1,7,-6) . We will determine the number of rational points on elliptic curves and conics over F_73 . Moreover, we consider the number of integer solutions of cubic congruences associated with these forms.In the third section, we consider some properties of positive definite binary quadratic forms in a special family. Also we determine the number of integer solutions of quadratic congruencies and determine the number of rational points on singular curves related to forms over finite fields.In the fourth section, we consider the quadratic forms F_1=x_1^2+ 8x_2^2 and G_1=2x_1^2+ 4x_2^2 of discriminant -31 , and their direct sums F_4, G_4, F_3 + G_1, F_2 + G_2 , F_31+ G_3 . We obtain some results concerning the modular forms. Using these, we construct a basis for the cusp form space S_4( (31), 1) , and then we give formulas for the number of representations of positive integer by these quadratic forms and their direct sums.In the last section, for delta = D^1/2 and delta =(1+ D^1/2)/2 values we obtain some results and connection between quadratic irrationals, quadratic ideals and quadratic forms.