Bazı diophantine denklemleri çözmek için elementer metotlar ve bunların uygulamaları

Abstract

Diophantine denklemleri katsayıları tamsayılar olan iki yada daha fazla değişkenli denklemlerdir. Genel olarak bu denklemleri Lineer ve Üstel Diophantine Denklemleri olarak iki farklı şekilde sınıflandırabiliriz. Literatürde Üstel Diophantine denklemleriyle ilgili birçok makale bulunmaktadır. Bu çalışmada Fermat'nın son teoremi olarak bilinenx^n+y^n=z^nDiophantine denkleminden yola çıkılarak x^n+〖py〗^n=〖p^2 z〗^n Diophantine denkleminin psayısının asal, x,y ve z lerin pozitif tamsayılar (n ≥ 3) olduğu durumda aşikâr olan çözümler dışında başka çözümlerinin olmadığı literatürdeki sonuçlar ve Fermat'nın sonsuz indirgeme metodu yardımıyla yeniden gösterilmeye çalışıldı. Bu metotda pozitif tamsayılar kümesinin özellikleri ve bölünebilme kurallarından faydalanılarak mümkün olan en kısa yoldan çözüme ulaşılmaya çalışıldı.

Diophantine equations are a kind of equation with two or more variables the coefficients of which are integers. In general they are classified into two groups: linear and exponential Diophantine equations. In the literature there are many papers about exponential Diophantine equations. One of the most popular problem is known as Fermat's Last Theorem which states that whether the equationx^n+y^n=z^nwhere n ≥ 3 and x,y,z and n are integers has got any nontrivial integer solutions or not. In this work, we considered a special form of the exponential Diophantine equation which is x^n+py^n=p^2 z^n where p is prime and x, y, z are non-negative integers. In general form of we used Fermat's Method of Infinite Descent (FMID) to determine the existence of solutions.