Alfa-konveks fonksiyonların ve alt sınıflarının incelenmesi

Abstract

Bu çalışmanın amacı 1969 yılında.MOCANÜ tarafından tanımlanan α- konveks fonksiyonların bazı alt sınıflarını incelemektir. Birinci bölüm temel bilgileri kapsamaktadır. İkinci bölümde α- konveks fonksiyonların a pozitif tam sayı olması halinde bazı özellikleri İncelenmektedir. Bundan dolayı α- kon­veks fonksiyonların bu alt sınıfı Mp ile gösterilmektedir. îlk ola­rak Mp sınıfı için temel karakterizasyon p-fold konveks yalınkat fonksiyonlarından yararlanarak verilmekte, bu karekterizasyondan hareketle Mp sınıfına ait fonksiyonların p-l/2p ‘inci mertebeden kon­veks, 1/2 inci mertebeden yıldızıl oldukları gösterilmektedir. Daha sonra Mp sınıfı ile yıldızıl fonksiyonlar sınıfı arasındaki ilgiyi kuran bir teorem ispatlanmakta ve bu teoremin sonulları olarak, Mp sınıfına ait fonksiyonların MARX-STROHACHE eşitsizliklerini gerçek­ ledikleri ispatlanarak bir katsayı eşitsizliği verilmektedir. Yıldızıl fonksiyonlarla ilgiyi veren teorem ile yıldızıl fonksiyonlar için ROBERTSON tarafından verilen karakterizasyon Mp sınıfına uy­gulanarak, Mp sınıfına ait bazı eşitsizlikler, distorsiyon teorem­ leri ispatlanmaktadır. Daha sonra Mp sınıfı için SCHWARZÎAN türev eşitsizliği verilmektedir. Bölümün son teoremi olarak Ma sınıfı için genel bir karakterizasyon ile bu karakterizasyonun sonulu ola­rak konveks fonksiyonların türevlerinin gerçekledikleri yeni bazı eşitsizlikler elde edilmektedir. Üçüncü bölümde MİLLER tarafından tanımlanan p-fold α-konveks fonksiyonların ve d2p+1 katsayıları için kesin üst sınırlar verilerek a = 0, a = 1 ve p = 2 için özel durumlar incelenmek­tedir. İncelenen özel haller sırasıyla p-fold konveks, p-fold yıldızıl ve tek α-konveks sınıfına karşılık gelmekte olup, ilk iki sınıf için bilinen katsayı eşitsizlikleri elde edilmektedir. Dördüncü bölümde konvekslik yarıçapı ve MİLLER, MOCANÜ, READE tarafından tanımlanan -konvekslik yarıçapı kavramları p-fold yıl­dızıl fonksiyonlar sınıfına genişletilmektedir. Bu genişletilmenin a = 0 ve p = 1 özel halleri için MİLLER, MOCANÜ, READE tarafından bulunan değerler elde edilmektedir.

The purpese of this work is ta study the subclasses of α-convex functîons which were introduced by Mocanu in 1969. The first chapter is devoted to the preparations and include some fundamental definitions and theorems. In the second chapter the properties of α - convex functîons are studied where istaken to be a positive integer. These classes are denoted by Mp. First a fundamental characterization is obtained for the classes Mp. Then, using this cheracterizaton, it is show that the functîons in Mp are convex of order p-1/2p and starlike of order 1/2. Later, the connection between the classes Mp and starlike functîons is estabiished. As corrollaries of this, it is show that, functîons in Mp satisfy several inequalities. In the third chapter ©harp bounds are obtained for the coefficients ap+1 and a2p+l p-fold α-convex functîons. Several know results are obtained as coroîlaries of this. In the last chapter the radius of convexity which was defined by Miller. Mocanu and Reade is extended to the class of p-fold starlike functions.